Fermi-Dirac Statistiek

Deze vorm van quantumstatistiek gaat uit van een verdelingswet opgesteld door Italiaanse natuurkundige Enrico Fermi (1901-1954) en Paul Dirac (1902-1984). De verdelingswet is af te leiden uit de combinatorische kansrekening; bij de aanname dat deeltjes niet-onderscheidbaar zijn en er een uitsluitingsprincipe optreedt. Het uitsluitingsprincipe is ontdekt door Wolfgang Pauli (1900‑1958) en treedt alleen op bij deeltjes met een antisymmetrische golffunctie. Het Pauli-verbod houdt in dat één toestand slechts door één deeltje bezet kan worden. We noemen deze deeltjes "fermionen". Tot deze groep deeltjes behoren onder andere deeltjes met spin ½, zoals elektronen, protonen en neutronen.

De Maxwell-Boltzmann verdelingswet wordt vaak nog gebruikt als benadering voor de Fermi-Dirac verdelingswet. De distributie volgens Fermi-Dirac is:                               

 

 

ni            het aantal fermionen in de ide quantumtoestand

gi            à-priori waarschijnlijkheid in de ide quantumtoestand

wi            inwendige energie in de ide quantumtoestand

ß=1/kT    statistische temperatuur, beschrijft toestand van het systeem

wf= -akT  Fermi-energie

a              Beschrijft de energietoestand van het systeem

 

Onderwerpen

Afleiding van FD-verdelingswet

De FD-verdelingswet en z'n parameters

            De à-priori waarschijnlijkheid

            Inwendige energie en statistische temperatuur

            Toestandssom en Fermi-energie

A. Toepassing van FD-statistiek op vrije elektronen in metalen  (elektronengas)

Elektronen zijn deeltjes met een anti-symmetrische golffunctie en voldoen als zodanig aan de Fermi-Dirac distributie. In een atoom kan ieder elektron maar één energienivo bezetten. Ook in een vaste stof waar veel atomen zijn ondergebracht, kan ieder elektron maar één energienivo bezetten. Dus als vele losse atomen vanuit het oneindige worden samengebracht tot een vaste stof dan moeten alle elektronen, welke op oneindige afstand van elkaar dezelfde energie bezitten, iets in energie van elkaar moeten gaan verschuiven.

Als we aannemen dat het gaat om een vaste stof welke zoveel atomen bevat zodanig dat we de energienivo-quantisaties van de vele elektronen kunnen verwaarlozen dan ontstaan er bepaalde groepen toegestane energiebanden.

In zo'n energieband is het dan mogelijk om daar elektronen aan te treffen, en gebieden waar geen banden zijn is het niet mogelijk om daar elektronen aan te treffen, we noemen dit verboden zones.

Er zijn "bijzondere" vaste stoffen waarin de elektronen een zodanige energie kunnen bezitten dat ze zich vrij door de vaste stof kunnen bewegen. Voorbeelden van zulke vaste stoffen zijn sommige metalen als ijzer, aluminium, koper etc.

De toestanden behorende bij de energiebanden met de laagste energie zullen vrijwel bij elke temperatuur volledig gevuld zijn. Daarboven komen we aan een band die slechts gedeeltelijk bezet is, omdat het aantal toestanden in die band groter is dan het aantal nog beschikbare elektronen; deze band word de geleidingsband genoemd, omdat de elektronen in deze band van toestand kunnen veranderen en dan een elektrische geleiding kunnen veroorzaken.

De elektronen kunnen zich vrij bewegen in het materiaal. Elektronen die het oppervlak van een metaal naderen worden normaliter door het metaal, de positieve kernen, naar binnen getrokken. Dit gebeurt echter niet wanneer hun energie (dus hun snelheid) te hoog is, ze ontsnappen (thermische emissie) dan. Zo'n energieverhoging (opwarmen van elektronen) kan optreden door het toevoeren van licht (foto-elektrisch effect) of door een sterke temperatuur verhoging.

Geleidingsband

De energienivo's zijn gediscretiseerd, maar omdat er zoveel energienivo's zijn welke dichtbij elkaar liggen mogen we het als een continuüm, dus een band, beschouwen.

 

We kunnen dan de quantisaties van de energie verwaarlozen en overgaan op een continue FD-verdeling.

 

 

g(w)dw     het aantal toestanden in een energiegebied tussen w en w+dw

                   

We kunnen het aantal toestanden in het energie interval tussen w en w+dw uitrekenen met behulp van een zes-dimensionale faseruimte, in het oog houdend dat we elektronen met een spin-up en spin-down van elkaar moeten onderscheiden. We komen dan tot de volgende betrekking

 

  

 

V          volume van het metaal

m         massa van de deeltjes (elektronen)

 

De combinatie van deze toestandsdichtheid met de Fermi-Dirac distributie geeft een verdeling van het elektronengas in het metaal over de energienivo's.

 

 

 

 

Het totale aantal deeltjes is constant en is gelijk aan:

 

 

Ook kunnen we de totale inwendige energie van het elektronengas uitrekenen door

                 

 

en de gemiddelde energie door

                 

 

Elektronenenergie bij het absolute nulpunt

Alleen bij het absolute nulpunt kunnen we via analytische methode nog iets zeggen over de toestand waar het systeem zich in verkeerd. Voor het absolute nulpunt (T = T0 = 0 K) is de bezettingsgraad overal één we mogen dus stellen dat daar geldt dat                                             

 

 

We kunnen nu het Fermi-nivo voor het absolute nulpunt bepalen als we het aantal elektronen kunnen bepalen. Het aantal elektronen is voor iedere temperatuur gelijk dus ook voor het absolute absolute nulpunt.

N.B. Het Fermi-nivo is zwak afhankelijk is van de temperatuur.

 

 

 

We kunnen de totale inwendige energie van het elektronengas bij het absolute nulpunt uitrekenen.

N.B. Deze is dus niet gelijk aan nul !!!

 

 

De gemiddelde energie per elektron bij het absolute nulpunt is dan.

 

 

B. Thermische emissie van elektronen uit metalen (elektronenbuis) (thermische emissie)

Door de temperatuur losgeslagen valentie-elektronen welke zich in de geleidingsband bevinden kunnen zich vrij door in het materiaal bewegen. Elektronen die het oppervlak van een metaal naderen worden normaliter door het metaal d.w.z. de positieve kernen naar binnen getrokken. Als de energie (snelheid) van de elektronen voldoende groot is dan kunnen de elektronen ontsnappen aan het metaal doordat ze dan de potentiaalberg op kunnen.

Energie om dit opwarmen van elektronen te bewerkstelligen kunnen we toevoegen door middel van een lichtquanta (foto-elektrisch effect) of via sterke temperatuurverhoging (roostertrillingen, elektronen met hogere energie).

Als we over deze laatste methode spreken dan praten we over thermische emissie

De elektronen in het metaal hebben een energieverdeling volgens Fermi-Dirac.

 

 

 

Als we deze omwerken tot een snelheidsverdeling waar we aannemen dat de elektronen geen relativistische snelheden bereiken kunnen we met behulp van w = 1/2 mv² schrijven dat

 

 

Hierin is v=vr een snelheid in een willekeurige richting (bolcoördinaten). Omdat we geïnteresseerd zijn in de emissie in één richting gaan we over op cartesische coördinaten. Het integratie element 4pv²dv=d(4/3pv3)=dV gaat over in dV=dvxdvydvz waarin v de straal is in de snelheidsruimte en dv een schil is in de snelheidsruimte waarvoor alle snelheden in grootte hetzelfde zijn. In cartesische coördinaten verandert het integratie element dn in zijn 3 dimenionale analogon d3n. We kunnen voor een snelheid in een bepaalde richting zeggen dat

vr² = vx² + vy² + vz². 

 Voor het aantal deeltjes wat zich in één richting, stel x, voort plaatst vinden we dan per volume eenheid dat

 

 

 

w = 1/2 mv² = 1/2 m(vx² + vy² + vz²)

nx het aantal deeltjes wat zich in de richting x zich met een snelheid tussen                                        

vx en vx+dvx per volume eenheid in het metaal voort plaatst.

Alleen die deeltjes met een snelheid groot genoeg v > vmin zullen geëmitteerd worden. Dit zijn de deeltjes met een energie

 

 

ø         uittree-arbeid

vmin     is de minimale snelheid nodig voor te ontsnappen

Het aantal deeltjes wat per oppervlakte-eenheid per seconde aan de x-richting van het metaal de rand bereikt is gelijk aan het aantal deeltjes in het virtuele volume-element

                         

 

dN het aantal deeltjes wat per seconde per volume-eenheid uit de x-richting

                             

 

zou kunnen ontsnappen

Alleen de deeltjes die de x-rand bereiken en een die snelheid groter dan v=vr=(vx,vy,vz) zullen kunnen ontsnappen aan deze rand.

 

                       

 deeltjes waarvan de snelheid v > vmin en zich in de richting x voortbewegen

De elektrische stroomdichtheid welke ontstaat doordat de elektronen uit het metaal vloeien is

 

                                               

 

 

J    elektrische stroomdichtheid

 

  

 

 

Deze vergelijking is analytisch niet op te lossen, daarom nemen we aan dat 1/2mv²-wf » kT. Dit is in de meeste gevallen praktische gevallen ook goed. We hebben dan de Fermi-Dirac verdeling vervangen door een Maxwell-Boltzmann verdeling, door het weglaten van de Fermi-term "+1". Maar het is niet het zelfde als we vanaf het begin af aan met de Maxwell-Boltzmann statistiek hadden gewerkt want dan hadden we een andere vergelijking gekregen. We vinden dan dat de vergelijking van Richardson-Dushman voor thermische emissie.

 

 

 

 

          

In de praktijk zal deze vergelijking meestal niet exact zijn omdat, omdat de elektronen-emissie zeer gevoelig is voor oppervlakte-effecten, zoals:

-verontreiniging die aan het oppervlak gaan zitten als bijvoorbeeld vreemde atomen die er worden of door vuil van vieze vingers wat op het oppervlak zit.

-oppervlakte segregatie en structuurveranderingen die plaats vinden in de eerste (3 tot 10) atoomlagen, zo willen bijvoorbeeld bij sommige legeringen de atomen van het ene materiaal liever aan de buitenkant zitten als van het andere, dit is bijvoorbeeld het geval bij roestvrij staal waar de chroom atomen liever aan de buitenkant zitten als die van het staal.

-kristallografische richting van het oppervlak, d.w.z. de doorsnijding van het kristal waar door de uittree-arbeid verandert omdat deze afhangt van de interatomaire afstanden. Dus bij polykristallijne oppervlakte is de emissie niet homogeen over het oppervlak verdeeld. En tijdens bedrijf kan door de hoge temperaturen rekristallisatie optreden waardoor de emissie van elektronen kan veranderen. In de praktijk zal de stroom meestal een factor 2 tot 4 kleiner zijn dan we berekenen. Dit komt doordat er afwijkingen optreden in A[o] en ø.

We komen de Richardson-Dushman vergelijking tegen bij elektronenbuizen, welke men heden ten dagen nog tegen komt in elektronenkanonen voor monitoren in leger apparatuur wat geschikt moet zijn voor nucleaire aanvallen.

C. Contactpotentialen

(thermokoppel)

 Wanneer twee verschillende geleidende materialen i.h.a. metalen met elkaar maken contact komen ontstaat er een potentiaal verschil doordat verschillende metalen hebben verschillende Fermi-nivo’s. Dat wil zeggen in het ene metaal hebben elektronen meer energie dan in het andere. Elektronen met hogere energie stromen nu naar het metaal met de lagere energie totdat hun Fermi-nivo’s gelijk zijn. Door het wegstromen van deze elektronen ontstaat er een te kort aan elektronen in het ene metaal en een overschot in het andere hetgeen tot  een potentiaalverschil leid.

        

 

øi uittree-arbeid van metaal i

i=1,2    metaal 1 resp. 2

q          lading van het elektron  

Indien men het materiaal op twee verschillende plaatsen met elkaar in contact brengt en de contactpunten op twee verschillende temperaturen houdt, dan gaat er stroom vloeien van het ene contactpunt naar het andere. We noemen dit instrument een thermokoppel. (toepassingen caloriemeter, thermometer).

D. Overige toepassingen van Fermi-Dirac statistiek

Fermi-Dirac statistiek kunnen we ook nog toepassen op.

1. Twee-niveau systeem

2. De harmonische oscillator

3. Monoatomaire ideale gas

4.  Fermionengas

5.  Witte dwergen