Bose-Einstein Statistiek

Bose-Einstein-statistiek is een vorm van quantumstatistiek welke uit gaat van een verdelingswet opgesteld door de Italiaanse theoretisch fysicus Satyendra Nath Bose (1894-1974). Zijn in 1924 gepubliceerde werk “Statistics of photons” werd in het Duits vertaalt door Albert Einstein (1879-1955), welke er tevens de aandacht op vestigde dat deze statistiek uitgebreider toepassingen kon vinden.

De verdelingswet is af te leiden uit de combinatorische kansrekening; bij aanname dat de deeltjes niet-onderscheidbaar zijn en dat er geen uitsluitingsprincipe optreedt d.w.z. dat in één quantumtoestand een onbeperkt aantal deeltjes kan voorkomen.

Deeltjes die geen uitsluiting vertonen hebben een symmetrische golffunctie en noemen we "bosonen". Voorbeelden van dit soort deeltjes zijn fotonen (energiedeeltjes zonder rustmassa), phononen (rooster trillingen van een vaste stof), deeltjes met een heeltallige spin en samengestelde deeltjes die uit een even aantal elementaire fermionen zijn opgebouwd (zoals a-deeltjes, koppels van elektronen bij supergeleiders en sommige atomen). De Maxwell-Boltzmann verdelingswet wordt vaak nog gebruikt als benadering voor de Bose-Einstein-verdelingswet. De distributie volgens Bose-Einstein is te schrijven als:

ni             het aantal bosonen in de ide quantumtoestand

gi             à-priori waarschijnlijkheid in de ide quantumtoestand

wi             inwendige energie van de bosonen in de ide quantumtoestand

ß=1/kT    statistische temperatuur, beschrijft toestand van het systeem

wf= -akT  Fermi-energie

a              Beschrijft de energietoestand van het systeem

 

Afleiding van BE-verdelingswet

De BE-verdelingswet en z'n parameters

            De a priori waarschijnlijkheid

            Inwendige energie en statistische temperatuur

            Toestandssom

A. Toepassing van BE-statistiek op een zwarte straler

   (fotonengas)

Ieder (zwart) lichaam emitteert een door de temperatuur gekarakteriseerd elektromagnetisch stralingsveld. Daarnaast absorbeert ieder lichaam ook elektromagnetische straling, dit bepaald de kleur van het voorwerp. Een rood voorwerp absorbeert alle straling behalve de rode, deze wordt gereflecteerd. Een zwart voorwerp absorbeert alle opvallende elektromagnetische straling.

Een in evenwicht verkerende straler emitteert per tijdseenheid evenveel energie als er geabsorbeerd wordt. Het spectrum van zo'n straler in evenwicht is alleen bepaald door de temperatuur. Aan het eind van de 19de eeuw zijn er door verschillende natuurkundige imperisch (macroscopische) formules opgesteld welke gloeiende voorwerpen beschreven. Deze imperische betrekkingen kunnen we afleiden uit de statistische fysica.

We kunnen elektromagnetische straling beschouwen als een verzameling deeltjes (fotonen). Het fotonengas rondom het lichaam voldoet aan de Bose-Einstein verdeling. Omdat het aantal fotonen niet constant hoeft te zijn, kunnen we stellen dat parameter a verwaarloost kan worden. 

 

Als de ruimte van waarin het lichaam zich bevindt groot is vergeleken met de golflengte van de straling dan kunnen aannemen dat het frequentieverschil en dus het energieverschil tussen twee opeenvolgende toegestane frequenties van de fotonen zeer klein is. We kunnen dan de quantisaties van de energie verwaarlozen en overgaan op een continue BE-verdeling. Daar de energie volgens Max Plank op een constante schalingsfactor na de frequentie is kunnen we stellen dat:

 

 

gi            à-priori waarschijnlijkheid met diskrete levels

g(f),g(w) à-priori waarschijnlijkheid met continue niveau verdeling

f             frequentie van een foton

df            frequentiegebiedje f tot f+df

w = h·f                energie van een foton

We kunnen met behulp van de meetkunde en wat eenvoudige kennis over elektromagnetische golven het aantal mogelijke trillingen per frequentiegebied wat in de ruimte mogelijk is uitrekenen. 

 

 

V                                  volume waar het voorwerp zich in bevindt

c » 3·108 m/s              constante, lichtsnelheid

De hoeveelheid energie per volume-eenheid gelijk is aan de totale energie van het aantal fotonen wat zich in dat volume bevindt.

 

 

w(f)      spectrale verdeling van de energie per volume-eenheid

          het aantal fotonen met frequentie df

De uitgezonden energie per seconde en per oppervlak in een frequentie gebied f en f + df is: 

 

 

1. Wet van Planck

In jaar 1900 presenteerde Max Planck (1858-1947) zijn formule voor de zwarte straler. In deze formule had hij een rekenkundige constante h aangenomen. Planck wist niet dat hij met deze formule de gehele wetenschap uit die tijd op zijn kop gooide. De formule is volgt door de bovenstaande gegevens in te vullen in de BE‑distributie.

 

                          

 

 

  uitgezonden energie per seconde en per oppervlak in

                                       een frequentiegebied  f en f + df

 

Als we de formule in termen van golflengte willen hebben dan substitueren we

 

 

Dan volgt,

                       

 

     

                       

 uitgezonden energie per seconde en per oppervlak in

                                       een golflengtegebied  g en g + dg

                            g         golflengte

                                                

2. Wet van Stefan-Boltzmann

In 1879 presenteerde Stefan een imperische betrekking welke zij dat de totale hoeveelheid energie, uitgestraald per tijdseenheid, is evenredig met de vierde macht van de absolute temperatuur van de lichtbron.  Zijn leerling Boltzmann gaf een verklaring.

            

                       

a = 5.66961·10-8 W/m2K4      constante van Stefan-Boltzmann

Al in 1893 werd door Duitse natuurkundige Wilhelm Wien (1864-1928) al imperisch vastgesteld dat de golflengte waarbij de intensiteit van de straling het grootst is, omgekeerd evenredig is met de absolute temperatuur van het stralende voorwerp.

Enkele jaren daarvoor, in 1879, was door de Oosterijkse natuurkundige Josef Stefan (1835-1893) al ondekt dat het uitgezonden vermogen van een gloeiend voorwerp evenredig is met de vierde macht van de temperatuur. Zijn leerling Ludwig Boltzmann (1844-1906) gaf in 1884 hiervoor een theoretische verklaring.

3. Wet van Wien

 

In 1893 poneerde Wien de imperische wet dat de golflengte waarbij de intensiteit van de straling het grootst is, is omgekeerd evenredig met de absolute temperatuur van het stralend voorwerp.

 

 

               

 = 2.8978·10-3 mK      constante van Wien

4. Stralingswet van Rayleigh-Jeans

Als we aannemen dat fotonen zich als klassieke deeltjes gedragen. Dan kunnen we de Bose-Einstein verdeling door een Maxwell‑Boltzmann verdeling mogen benaderen. De gedane aanname is gerechtigd als we kunnen spreken over lange golven. We mogen dan volgens de Engelse wiskundige Brook Taylor (1685-1731) stellen dat ehf/kT » 1 + hf/kT. Door deze betrekking in die van Planck in te vullen volgt

 

 

kRayleigh-Jeans    constante van Rayleigh-Jeans

Deze formule is bij benadering goed. Maar als we de totaal uitgestraald energie per tijdseenheid willen uitrekenen ontstaat een zeer verontrustend resultaat.      

 

 

Een materiaal in thermisch evenwicht zou aanleiding geven tot een elektromagnetisch stralingsveld van oneindig hoge energiedichtheid. Deze paradoxale situatie welke men in de tijd ook niet begreep werd pas duidelijk nadat Plank zijn formule had gepresenteerd. Hiermee is tevens weer bewezen dat de Maxwell‑Boltzmann statistiek op fotonen niet geheel deugt.

Toepassingen

1) Bolometer, vermogensmeter voor fotonen. De meter bestaat uit een resonantie absorpser welke de opvallende straling absorbeert. We komen deze meters in de praktijk tegen voor het meten van vermogens van lichtbronnen (zoals lasers) en microgolfbronnen (zoals masers)

 

B. Toepassing van BE-statistiek op fotonen

   (spontane en gestimuleerde stralingsovergangen)

Een ander toepassing van de BE-statistiek voor fotonen treffen we aan bij de verschijnselen rond spontane en gestimuleerde stralingsovergangen.

LASER (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)

MASER (Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation)

 C. Toepassing van BE-statistiek op phononen

   (i.h.b. rooster of kristaltrillingen en thermische effecten)

Kristallijne vaste stoffen zijn verzamelingen van atomen of moleculen die een regelmatige rangschikking volgens een terugkerend patroon in de driedimensionale ruimte hebben. De atomen trillen om hun evenwichtstoestand en deze trillingen zijn gekoppeld aan hun naaste buren, de daarop volgende buren enz. Trillingen in het kristal zijn collectieve trillingen van een aantal atomen. De trillingen zijn op te beschouwen als elastische botsingen zoals het geluid en hebben dezelfde voortplantingssnelheid.

De verzameling van trillingen in het kristal kunnen we beschouwen als een systeem van energiedeeltjes (phononen). Deze phononen zijn niet-onderscheidbaar en er kunnen phononen met een zelfde energie toestand voorkomen, d.w.z. dat we gebruik moeten maken van de Bose-Einstein distributie. Het aantal phononen hoeft niet constant te zijn. Het aantal kan variëren als de temperatuur veranderd of indien andere wisselwerkingen een rol spelen zoals elektronen of magnonen.

 

 

De phononen zijn energiedeeltjes met een energie ter grootte van:

 

 

h     schalingsfactor tussen frequentie en energie constante van Planck

Als het volume van het kristal groot is vergeleken met het aantal atomen dan kunnen aannemen dat de quantisatie te verwaarlozen is en we kunnen overgaan op een continue BE-verdeling.

 

           

gi                     à-priori waarschijnlijkheid met diskrete levels

g(f),g(w)          à-priori waarschijnlijkheid met continue niveau verdeling

f                       frequentie van een phononn

                                    df                     frequentiegebiedje f tot f+df

                                    w = h·f                         energie van een phonon

We kunnen met behulp van de meetkunde en wat eenvoudige kennis over trillingen de het aantal mogelijke trillingen per frequentiegebied wat in het kristal mogelijk is uitrekenen. [1,A.3]

 

 

N aantal atomen in het kristal

fmax                maximale trillingsfrequentie

De trillingsenergie van de fotonen in het frequentiegebiedje f en f+df is        

 

 

De totale trillingsenergie van de atomen in het kristal met de N atomen is                

 

 

Als het bovenstaande tezamen met de BE-verdelingswet aanschouwen dan volgt voor de totale trillingsenergie

 

 

 

 

 

1. Soortelijke warmte van kristallijne vaste stoffen

Roostertrillingen kunnen we beschouwen als een voor van thermische energie. De hoeveelheid thermische energie kunnen we schrijven als een functie van de temperatuur

                                    Q = W = Cv·T = µ · cv · T

De evenredigheidsfactor tussen temperatuur en de energie noemt met de soortelijke warmte en is gedefinieerd als

 

                       

Cv        soortelijke warmte

Als we stellen dat N = NA = 6,02205·1023 deeltjes º 1 mol dan is krijgen we de soortelijke warmte van 1 mol stof kristallijne vaste stof.

 

 

                       

NA = 6,02205·1023 deeltjes       constante van Avogadro

We voeren nu een gereduceerde temperatuur volgens Nederlandse fysicus P. Debye (1912), deze is als volgt gedefinieerd:             

 

                       

  Debye temperatuur,  karakteristiek temperatuur, specifieke temperatuur

De Debye temperatuur is een specifieke materiaal eigenschap. Verder kunnen we nog definiëren

                         

 

R = 8.3143 J/(mol·K)                        (molaire) gasconstante

 

  

                       

 gereduceerde temperatuur

x = hf/kT          vereenvoudigde variabele

Deze vergelijking voor CV is te moeilijk voor een analytische oplossingsmethode, we zoeken daarom onze toevlucht tot de numeriek methode.

Bij lage temperaturen T « tD

                                   

                                   

a          evenredigheidsconstante afhankelijk van materiaal

Bij hoge temperaturen T » tD

 

 

Dulong (1785-1838) en Petit (1791-1820)

Afleiding van de wet van Dulong en Petit

Equipartitie theorema van de energie

 

1.1 Soortelijke warmte van metalen in het milliKelvin gebied

Een bijzonder geval wordt gevormd door de metalen, waar naast de roosterenergie van de atomen ook de energie van het elektronengas meegenomen moet worden. Bij kamertemperatuur en hoger speelt dit geen grote rol omdat slechts een zeer kleine fractie van electronen naar een energieniveau boven wf gebracht worden volgens de Fermi-Dirac statistiek.

Bij extreem lage temperaturen echter (« 1K) spelen de elektronen wel een rol omdat Cv in eerste benadering voor een F.D.-gas lineair afhankelijk van T voor T« 1K. Bij lage temperaturen gaat de lineaire term overheersen boven de derde macht in T. Met F.D. statistiek is uit te rekenen dat

 

 

 

 

B. Toepassing van BE-statistiek

   (Bose-Einstein condensatie (BEC) en superfluïditeit)

Verlaagd men van een Bose-Einstein gas (zeg boson-atomen met een heeltallige spin) zeer sterk de temperatuur dan belanden er volgens de verdelingsfunctie meer deeltjes in de laagste energietoestand. Als de temperatuur het absolute nulpunt nadert dan treden ontzetten veel atomen in deze energietoestand. De stilstaande atomen verliezen hun deeltjes karakter meer ter versterking van hun golfkarakter. Een atoom raakt dus meer gespreid in de ruimte en kan als zodanig wel een 10.000 keer de normale omvang bereiken. Zo kan het uiteindelijk gebeuren dat de naburige atomen elkaar gaan overlappen en op zo’n moment verliezen “boson-atomen” hun identiteit. De afzonderlijke atomen gaan zich zo als één groot atoom gedragen. Elk atoom doet exact het zelfde op exact het zelfde moment; als je er een kietelt lachen ze allemaal. We mogen deze toestand beschouwen als een nieuwe argrigatietoestand.

Ondank dat bose-einsteincondensatie al zeventig jaar geleden werd voorspeld werd het pas in juli 1995 waargenomen en gefotografeerd. Onderzoekers van het National Institute of Standards and Technology in Boulder, Colorado slaagde er doormiddel van optische koeling1 en een magnetische val2 in rubidiumatomen af te koelen tot 170 nanoKelvin. Men kon circa 15 seconde ongestoord meten omdat belichting met fotonen de toestand weer verstoord.

Door BEC maakt het mogelijk om quantummechnanische verschijnselen macroscopisch schaal te kunnen bestuderen.

Voor mogelijke toepassingen kunnen we bijvoorbeeld denken aan de atoomlase

 

1. Superfluïditeit

In 1938 ontdekten P. Kapitsa te Moskou en J.F. Allen en A.D. Misener te Cambridge onafhankelijk van elkaar dat bij het verlagen van de temperatuur tot onder het l-punt de viscositeit van helium met een sprong tot een onmeetbaar kleine waarde daalde. Enkele andere eigenschappen van het superfluide He II zijn: het stroomt zonder wrijving door uiterst kleine capillairen en door lekken die voor He I en zelfs gasvormig 4He ontoegankelijk zijn, het kruipt als een dunne film tegen de wand en over de rand heen van het vat waarin het zich bevindt, en het heeft een warmtegeleiding die ongeveer drie miljoen maal groter is dan die van He I. Een van de meest ongewone eigenschappen van He II is verder dat hierin temperatuurvariaties zich als echte golven voortplanten met een snelheid onafhankelijk van de frequentie (het tweede geluid). Aanzetten voor een theoretische verklaring leverde in 1938 F. London, die de overgang van He I naar He II beschouwde als een bose-einstein condensatie.

1)indien men een atoom met de juiste golflengte bestraalt, dan zal dit atoom het foton absorberen. Gezien behoud van impuls zal het atoom een duwtje tegengesteld aan de bewegingsrichting van het foton krijgen??? Als het betreffende atoom dit foton later weer emitteert gebeurd dit in willekeurige richting. Gemiddeld gesproken verliest het atoom dus trillingsenergie.

2)als men in een magnetische val warme atomen opsluit, dan zullen atomen welke ontsnappen trillingsenergie onttrekken aan de atomen in de magnetische val.

supergeleiding